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幾何構造分析基本原理

01幾何“變不變”

相信在很小的時候，家里人或是老師都會告訴我們?yōu)槭裁此踔惖脑O施都會焊接成三角形的形式，因為三角形最穩(wěn)定嘛。

其實，這其中就包含了結構分析原理中的一個重要概念：幾何可變體系與幾何不變體系。毫無疑問的是，我們不能把結構架設成幾何可變體系，否則外力一旦施加上去，它就會迅速變形失去其功能，甚至瞬間倒塌，比如下面圖中所展示的（虛線為變形后狀態(tài)）。

那么，我們要如何將上面的結構變得“穩(wěn)固”呢？三角形是我們最容易想到的方法了。

其實，結構的幾何構造分析的主要目的就在于此，檢查并設法保證結構的幾何不變性。但是，上面的例子結構本身太過簡單，并且分析方法太過于直覺化，對于更復雜，不這么直觀的結構而言，比如下圖這樣：

這樣的所謂“一眼看”的分析方法就會變得不那么嚴謹，于是，一個更具有一般性的分析方法就變得尤為重要。

在正式提出分析方法之前，有必要先介紹兩個重要概念：一是自由度；二是約束。

學習一門新學科時，大多數人的內心都對這種新名詞，新概念充滿了排斥感，其實這些新的概念也只是第一次接觸的時候會花些心思，等到正式運用時，只會更方便。就像你第一次接觸方程時，老師給你傳遞一大堆概念和定義，但是現在我們只用提到方程這一概念，你就知道如何運用處理問題是一個道理。

02自由度  

在平面內（之后討論的都是平面，而非三維空間），假設有一個自由點可以在平面內自由移動，我們可以用幾個數值對其位置狀態(tài)進行描述呢？這是一個不太復雜的問題，二維平面之所以叫二維，就是因為在二維平面內可以用兩個量對面內任意點的位置進行描述，對此，我們稱這個自由點在平面內的自由度為2。盡管我還沒有給出自由度的直接定義，但相信讀者已經大概從這里有了自由度的初步“印象”了，就是自由的程度嘛。

可是我們都知道，結構并不是一個點，比如我們在上圖中將點換成一個矩形，我們稱這個矩形叫剛片（剛度大，不會變形的平面剛體），讀者并不需要對矩形這個描述過于留下刻板印象，因為剛片是一個統(tǒng)稱，有的時候一條軸線也可以被稱為剛片，一個剛架也可以被稱為剛片，讀者只用留下剛片是具有體積、不會變形這一特征的印象即可。

那么，剛片在平面內具有幾個自由度呢？如果你的回答是2的話，恭喜你回答對一半了，因為剛片在平面內也具有自由點的性質，可以在平面內自由移動。不過剛片不止是一個點，是具有空間形狀的，那么相對于點而言就多了一個運動狀態(tài)——轉動（比如時鐘里時針、分針繞中點旋轉），所以對平面中的剛片進行空間描述就需要用到三個度量值，它的自由度是3。

一般來說，一個體系如果有n 個獨立的運動方式，那么這個體系就有n 個自由度。比如，一般在工廠里的一些機械設施，我們是希望它們能“動”的，但是又希望它們只按照某一規(guī)定好的形式運動（比如說傳送帶），那么這種機構就有一個自由度。

而對于結構而言，我們是不能允許結構發(fā)生運動的，所以幾乎所有結構的自由度都為0，如果一個結構的自由度大于0了，那這個體系就是幾何可變體系。

03約束   

萬事萬物有了自由，自然就有了約束，也很容易提前猜到，既然把約束放在自由度后面講，那么約束一定會減少自由度的大小。

支桿約束：

比如一根桿AB（用兩個端點編號命名），在平面內是具有三個自由度的（可被看作是一個剛片），那么如果這樣的桿件被支座可動鉸支座（又名鏈桿或支桿）與基礎連接住，此時的自由度又會有什么樣的變化呢？

由圖可知，此時AB桿的運動方式只有兩種了：一是整個桿通過A點繞C點轉動，二是整個桿件繞A點轉動。因此，此時AB桿的自由度為2，在此就可以得到一個結論：一個支桿（上圖中的AC部分），相當于一個約束，可以減少一個自由度（對于上面的原因了解即可，更重要的是這個結論）。

鉸： 

假如空間中有兩個獨立的桿件AB、BC，那么這個體系就具有6個自由度（兩個桿件各有3個自由度）。那如果我們用一個鉸把兩個桿件連在一起，自由度又會有什么樣的變化呢？

對于這個“雙節(jié)棍”，它并不是說不能移動了，它依然可以移動，不過是兩個在一起整體移動，所以對于整個體系而言可以看作是：包含了AB作為剛片的三個自由度加上BC只能繞B旋轉的一個自由度（因為BC移動部分的自由度可以用AB的移動進行描述），共4個自由度。

其實并不難理解，你可以這樣類比，公交車在地面上有三個自由度（可移動，可轉彎），你也有三個自由度（可移動，原地轉圈），可是你上了公交車后，你的空間移動的量值其實就是公交車的移動了。

同樣可以得到一個結論：一個鉸相當于兩個約束，可以減少兩個自由度。

剛結：

那如果兩個桿件是被剛結在一起，像下面“回旋鏢”一樣的造型呢？

很容易，新的體系其實可以看成是一個更大的剛片，只有三個自由度。

同樣可以得到一個結論：一個剛結點相當于三個約束，可以減少三個自由度。

我們匯總一下上面提到的三個結論：

一個支桿相當于一個約束，可以減少一個自由度；

一個鉸相當于兩個約束，可以減少兩個自由度；

一個剛結點相當于三個約束，可以減少三個自由度。

有了自由度和約束的概念，我們就可以站在更科學的角度看待幾何可變以及幾何不變體系，對于更復雜的結構也有了更方便的工具可以運用了。